Linear regression

Robot cân đồ chơi bằng một mô hình tuyến tính đã học sẵn. Mỗi món đồ chơi có $d$ feature, và khối lượng dự đoán là

Cho bảng $X$, vector trọng số $w$ và hệ số tự do $b$, hãy tính dự đoán cho từng món. Với NumPy, chỉ cần một phép nhân ma trận với vector rồi cộng $b$.

Dữ liệu vào

Mỗi tệp input.json gồm X (ma trận $n\times d$), w ($d$ số) và b.

Kết quả

Một đối tượng JSON {"predictions": [...]} gồm $n$ dự đoán theo thứ tự hàng.

Giới hạn

• $1\le n\le20$, $1\le d\le4$.

Chấm điểm

Có 20 test, mỗi test 5 điểm. Số thực được chấm với sai số khoảng $10^{-7}$.

Ví dụ

{"X": [[3]], "w": [-0.4608150955572951], "b": 1.7755447707971468}

{"predictions": [0.3930994841252615]}

Robot học chỉnh tay lái bằng gradient descent. Mô hình có hai trọng số và một hệ số tự do, loss là MSE:

Bắt đầu từ $w=(0,0)$, $b=0$, chạy đúng steps bước với tốc độ học learning_rate. Ở mỗi bước:

1. Tính sai số $r_i = X_iw+b-y_i$ và ghi lại loss trước khi cập nhật.
2. Tính gradient $\frac{\partial J}{\partial w}=\frac2n X^\top r$ và $\frac{\partial J}{\partial b}=\frac2n\sum_i r_i$, cả hai đều từ tham số cũ.
3. Cập nhật đồng thời $w$ và $b$.

Dữ liệu vào

Mỗi tệp input.json gồm X (ma trận $n\times2$), y, learning_rate, steps.

Kết quả

Một đối tượng JSON gồm loss_history (steps giá trị loss), weights (hai trọng số sau bước cuối) và bias.

Chấm điểm

Có 20 test, mỗi test 5 điểm. Số thực được chấm với sai số khoảng $10^{-7}$.

Nhiệt độ của chiếc lò nhỏ thay đổi theo một đường cong. Đường cong vẫn học được bằng hồi quy tuyến tính, chỉ cần thêm cột $x^2$: mô hình $\hat y = w_1x + w_2x^2 + b$ vẫn tuyến tính theo các trọng số.

Dựng pipeline PolynomialFeatures(degree=2, include_bias=False) rồi LinearRegression(), học trên train.csv và dự đoán cho test.csv. Đặt include_bias=False vì LinearRegression đã tự có hệ số tự do.

Dữ liệu vào

Mỗi thư mục test có train.csv (cột x, label) và test.csv (cột x).

Kết quả

Một đối tượng JSON gồm predictions (theo thứ tự hàng của test), weights (hai trọng số của $x$ và $x^2$) và bias.

Chấm điểm

Có 20 test, mỗi test 5 điểm. Số thực được chấm với sai số khoảng $10^{-7}$.

Đây là một câu trong đề thi USA-NA-AIO. Viết hàm my_fun_derivative(X, y, theta) nhận mảng NumPy X shape $(N, d)$, y shape $(N,)$ và theta shape $(d,)$, rồi trả về gradient theo $\theta$ của

dưới dạng mảng shape $(d,)$.

Đề gốc có luật chơi chặt. Trong hàm không được dùng vòng lặp, không được dùng @, .T hay bất cứ thứ gì trong np.linalg, và không thêm import. Hãy làm bằng phép nhân từng phần tử, broadcasting và np.sum, np.mean với axis.

Bộ kit có sẵn khung hàm. Hàm solve gọi my_fun_derivative và ghi kết quả ra tệp.

Dữ liệu vào

Mỗi tệp input.json gồm X, y, theta.

Kết quả

Một đối tượng JSON {"gradient": [...]} gồm $d$ số.

Giới hạn

• $1\le N\le16$, $1\le d\le4$.

Chấm điểm

Có 20 test, mỗi test 5 điểm. Số thực được chấm với sai số khoảng $10^{-7}$. Giáo viên xem code để kiểm luật không vòng lặp.

Ví dụ

{
  "X": [[-0.2568641432313081]],
  "y": [-0.4608150955572951],
  "theta": [1.7755447707971468]
}

{"gradient": [-0.0024357446702507773]}

Gradient descent tìm cực tiểu của $f(x)=ax^2$, với $a>0$. Bắt đầu từ $x_0$, mỗi bước đi ngược hướng đạo hàm:

Cực tiểu nằm ở $x=0$, nhưng gradient descent có đến được đó hay không còn tùy bước học $\eta$. Hãy chạy đúng steps bước, ghi lại $x_t$, $f(x_t)$ và $f'(x_t)$ từ $t=0$, rồi cho biết dãy $x_t$ thuộc loại nào:

• "converge" nếu dãy tiến dần về $0$,
• "oscillate" nếu dãy nhảy qua lại giữa hai giá trị mãi không đổi,
• "diverge" nếu dãy ngày càng xa $0$.

Gợi ý: viết $x_{t+1}$ theo dạng một số nhân với $x_t$.

Dữ liệu vào

Một đối tượng JSON gồm a, x0, eta và steps.

Kết quả

Một đối tượng JSON gồm x, f, grad (mỗi trường steps cộng $1$ số) và kind.

Giới hạn

• $x_0\ne0$, $1\le\text{steps}\le20$. Các số $a$, $\eta$ đều dương và là bội của $\frac1{16}$.

Chấm điểm

Có 20 test, mỗi test 5 điểm. Số thực được chấm với sai số tương đối khoảng $10^{-8}$.

Ví dụ

{"a": 1, "x0": -1, "eta": 1.5, "steps": 2}

{
  "x": [-1.0, 2.0, -4.0],
  "f": [1.0, 4.0, 16.0],
  "grad": [-2.0, 4.0, -8.0],
  "kind": "diverge"
}